przedruk
tłumaczenie automatyczne
w oryginalnym tekście sporo odnośników do innych stron, polecam
Wzory fraktalne w przyrodzie i sztuce są estetyczne i redukują stres
31 marca 2017 4:03
Ludzie są stworzeniami wizualnymi. Przedmioty, które nazywamy "pięknymi" lub "estetycznymi", są kluczową częścią naszego człowieczeństwa. Nawet najstarsze znane przykłady sztuki naskalnej i jaskiniowej pełniły raczej rolę estetyczną niż użytkową. Chociaż estetyka jest często uważana za źle zdefiniowaną, niejasną jakość, grupy badawcze, takie jak moja, używają wyrafinowanych technik, aby określić ją ilościowo – i jej wpływ na obserwatora.
Odkrywamy, że obrazy estetyczne mogą wywoływać oszałamiające zmiany w ciele, w tym radykalne zmniejszenie poziomu stresu obserwatora.
Czy fraktale są kluczem do tego, dlaczego twórczość Pollocka urzeka? Zdjęcie AP/LM Otero
Czy fraktale są sekretem kojących naturalnych scen? Ronan, CC BY-NC-ND
Test plam atramentowych Rorschacha, opiera się na tym, co wczytasz w obrazie. Hermann Rorschach
Zrozumienie, w jaki sposób patrzenie na fraktale zmniejsza stres, oznacza, że możliwe jest stworzenie implantów siatkówki, które naśladują ten mechanizm. Zdjęcie Nautilusa za pośrednictwem www.shutterstock.com.
Moje główne badania koncentrują się na opracowywaniu implantów siatkówki w celu przywrócenia wzroku ofiarom chorób siatkówki. Na pierwszy rzut oka cel ten wydaje się daleki od sztuki Pollocka. Jednak to właśnie jego praca dała mi pierwszą wskazówkę na temat płynności fraktali i roli, jaką fraktale natury mogą odgrywać w utrzymywaniu poziomu stresu ludzi w ryzach. Aby upewnić się, że moje implanty inspirowane biologią wywołują taką samą redukcję stresu podczas patrzenia na fraktale natury, jak robią to normalne oczy, ściśle naśladują konstrukcję siatkówki.
Kiedy zaczynałem badania nad Pollockiem, nigdy nie wyobrażałem sobie, że będą one miały wpływ na projekty sztucznych oczu. Na tym jednak polega siła interdyscyplinarnych przedsięwzięć – myślenie "nieszablonowe" prowadzi do nieoczekiwanych, ale potencjalnie rewolucyjnych pomysłów.
------------
Wzory to matematyka, na którą uwielbiamy patrzeć
22 września 2015 11:06
Dlaczego ludzie uwielbiają patrzeć na wzory? Mogę się tylko domyślać, ale napisałem całą książkę o nowych matematycznych sposobach ich wytwarzania. W książce Creating Symmetry, The Artful Mathematics of Wallpaper Patterns (Tworzenie symetrii, artystycznej matematyki wzorów tapet) zamieszczam obszerny zestaw przepisów na przekształcanie fotografii we wzory. Oficjalna definicja "wzorca" jest kłopotliwa; Ale możesz myśleć o wzorze jako o obrazie, który w jakiś sposób się powtarza, być może gdy się obracamy, być może, gdy przeskakujemy o jedną jednostkę.
Oto wzór, który zrobiłem, używając logo The Conversation, wraz z truskawkami i cytryną:
Powtarzanie w nieskończoność na lewo i prawo. Frank A Farris, CC BY-ND
Matematycy nazywają to wzorem fryzu, ponieważ powtarza się on w kółko w lewo i prawo. Twój umysł prowadzi cię do przekonania, że ten wzorzec powtarza się w nieskończoność w dowolnym kierunku; W jakiś sposób wiesz, jak kontynuować wzór poza kadrem. Możesz również zobaczyć, że wzór u dołu obrazu jest taki sam jak wzór u góry, tylko trochę odwrócony i przesunięty.
Kiedy możemy zrobić coś ze wzorcem, który pozostawia go niezmienionym, nazywamy to symetrią wzorca. Tak więc przesuwanie tego wzoru na boki w odpowiednim stopniu – nazwijmy to przesunięciem o jedną jednostkę – jest symetrią mojego wzorca. Ruch odwracania i przesuwania nazywa się odbiciem poślizgu, więc mówimy, że powyższy wzór ma symetrię ślizgu.
Rząd liter A ma wiele symetrii. Frank A Farris, CC BY-ND
Przewracanie, a następnie przesuwanie jest tym samym, co jedno duże przewrócenie. Frank A Farris, CC BY-ND
Możesz odegrać to ręką: połóż prawą rękę twarzą w dół na stole z osią lustra przez środkowy palec. Najpierw odwróć rękę (symetria lustra), a następnie przesuń ją o jedną jednostkę w prawo (tłumaczenie). Zauważ, że jest to dokładnie taki sam ruch, jak odwrócenie ręki o pół jednostki od pierwszej.
To o tym świadczy! Nikt nie jest w stanie stworzyć wzoru z symetrią translacyjną i lustrami bez stworzenia tych pośrednich symetrii lustrzanych. Na tym polega istota matematycznego pojęcia grupy: jeśli wzór ma pewne symetrie, to musi mieć wszystkie inne, które powstają w wyniku ich połączenia.
Zaskakujące jest to, że istnieje tylko kilka różnych rodzajów symetrii fryzu. Kiedy mówię o typach, mam na myśli to, że rząd A ma ten sam typ co rząd V. (Szukaj tych pośrednich osi lustra!) Matematycy twierdzą, że dwie grupy symetrii są izomorficzne, co oznacza, że mają tę samą postać.
Okazuje się, że istnieje dokładnie siedem różnych grup fryzów. Zaskoczony? Prawdopodobnie możesz dowiedzieć się, czym one są, z pewną pomocą. Pozwólcie, że wyjaśnię, jak je nazwać, zgodnie z Międzynarodową Unią Krystalografów.
Symbol nazewnictwa używa szablonu prvh, gdzie p jest tylko symbolem zastępczym, r oznacza symetrię obrotową (pomyśl o rzędzie N), v oznacza cechy pionowe, a h oznacza poziomy. Nazwa wzoru A to p1m1: brak obrotu, lustro pionowe, brak elementu poziomego poza translacją. Używają 1 jako symbolu zastępczego, gdy ten konkretny rodzaj symetrii nie występuje we wzorcu.
Co mam na myśli mówiąc o rzeczach horyzontalnych? Mój fryz wprowadzający to p11g, ponieważ jest symetria ślizgu w kierunkach poziomych i brak symetrii w innych szczelinach.
Kolejny wzór fryzu, tym razem oparty na zdjęciu persymony. Frank A Farris, CC BY-ND
Zapisz kilka rzędów liter i zobacz, jakie rodzaje symetrii możesz nazwać. Wskazówka: powyższy wzór persymony (lub ten rząd N) zostałby nazwany p211. Nie może być p1g1, ponieważ upieramy się, że nasz fryz ma symetrię translacyjną w kierunku poziomym. Nie może być p1mg, ponieważ jeśli masz m w kierunku pionowym i g w poziomie, jesteś zmuszony (nie przeze mnie, ale przez naturę rzeczywistości) do symetrii rotacyjnej, co ląduje w p2mg.
Wzór p2mg oparty na tych samych surowcach, co nasz pierwszy wzór fryzu. CC BY-ND
Trudno jest zrobić wzory p2mg z literami, więc oto jeden wykonany z tej samej cytryny i truskawek. Pominąłem logo, ponieważ słowa stały się zbyt zniekształcone. Szukaj poziomych ślizgów, pionowych luster i środków o podwójnej symetrii obrotowej. (Oto zabawna cecha: uśmiechnięte truskawkowe twarze stają się smutne, gdy widzisz je do góry nogami.)
W mojej książce skupiam się bardziej na wzorach tapet, czyli takich, które powtarzają się w nieskończoność wzdłuż dwóch różnych osi. Wyjaśniam, jak używać wzorów matematycznych zwanych złożonymi formami falowymi do konstruowania wzorów tapet. Udowadniam, że każda grupa tapet jest izomorficzna – pojęcie matematyczne oznaczające tę samą formę – do jednej z zaledwie 17 grup prototypowych. Ponieważ typy wzorców ograniczają możliwe struktury kryształów, a nawet atomów, wszystkie wyniki tego typu mówią coś głęboko o naturze rzeczywistości.
Starożytna rzymska mozaika podłogowa w Carranque, Hiszpania. a_marga, CC BY-SA
Bez względu na adaptacyjne powody naszej ludzkiej miłości do wzorów, tworzymy je od dawna. Każda tradycja dekoracyjna obejmuje ten sam ograniczony zestaw typów wzorów, chociaż czasami istnieją kulturowe powody dla łamania symetrii lub pomijania niektórych typów. Czy nasze wizualne zamiłowanie do rozpoznawania, że "Tak, to jest to samo, co tamto!" miało pierwotnie użyteczny korzeń, być może ewoluując z przewagi w odróżnianiu roślin jadalnych od trujących, na przykład? A może po prostu lubimy patrzeć na wzory? Bez względu na to, co się dzieje, tysiące lat później nadal czerpiemy przyjemność z tych powtarzalnych wzorów.
theconversation.com/fractal-patterns-in-nature-and-art-are-aesthetically-pleasing-and-stress-reducing-73255
theconversation.com/patterns-are-math-we-love-to-look-at-44390
Wzory fraktalne w przyrodzie i sztuce są estetyczne i redukują stres
31 marca 2017 4:03
Ludzie są stworzeniami wizualnymi. Przedmioty, które nazywamy "pięknymi" lub "estetycznymi", są kluczową częścią naszego człowieczeństwa. Nawet najstarsze znane przykłady sztuki naskalnej i jaskiniowej pełniły raczej rolę estetyczną niż użytkową. Chociaż estetyka jest często uważana za źle zdefiniowaną, niejasną jakość, grupy badawcze, takie jak moja, używają wyrafinowanych technik, aby określić ją ilościowo – i jej wpływ na obserwatora.
Odkrywamy, że obrazy estetyczne mogą wywoływać oszałamiające zmiany w ciele, w tym radykalne zmniejszenie poziomu stresu obserwatora.
Szacuje się, że sam stres w pracy kosztuje amerykańskie firmy wiele miliardów dolarów rocznie, więc studiowanie estetyki niesie ze sobą ogromne potencjalne korzyści dla społeczeństwa.
Naukowcy starają się ustalić, co sprawia, że poszczególne dzieła sztuki lub naturalne sceny są atrakcyjne wizualnie i łagodzą stres – a jednym z kluczowych czynników jest obecność powtarzających się wzorów zwanych fraktalami.
Naukowcy starają się ustalić, co sprawia, że poszczególne dzieła sztuki lub naturalne sceny są atrakcyjne wizualnie i łagodzą stres – a jednym z kluczowych czynników jest obecność powtarzających się wzorów zwanych fraktalami.
Czy fraktale są kluczem do tego, dlaczego twórczość Pollocka urzeka? Zdjęcie AP/LM Otero
Przyjemne wzory, w sztuce i w naturze
Jeśli chodzi o estetykę, kto lepiej się uczy niż znani artyści? Są w końcu ekspertami wizualnymi. Moja grupa badawcza przyjęła to podejście z Jacksonem Pollockiem, który osiągnął szczyt sztuki nowoczesnej pod koniec lat czterdziestych, wylewając farbę bezpośrednio z puszki na poziome płótna ułożone na podłodze jego pracowni. Chociaż wśród badaczy Pollocka toczyły się bitwy na temat znaczenia jego rozpryskujących się wzorów, wielu zgadzało się, że mają one organiczny, naturalny charakter.
Moja naukowa ciekawość została pobudzona, gdy dowiedziałem się, że wiele obiektów w naturze jest fraktalnych, z wzorami, które powtarzają się przy coraz większych powiększeniach. Pomyśl na przykład o drzewie. Najpierw widać duże gałęzie wyrastające z pnia. Potem widzisz mniejsze wersje wyrastające z każdej dużej gałęzi. W miarę powiększania pojawiają się coraz drobniejsze gałęzie, aż do najmniejszych gałązek. Inne przykłady fraktali natury to chmury, rzeki, wybrzeża i góry.
W 1999 roku moja grupa wykorzystała techniki komputerowej analizy wzorców, aby pokazać, że obrazy Pollocka są tak fraktalne, jak wzory znalezione w naturalnej scenerii. Od tego czasu ponad 10 różnych grup przeprowadziło różne formy analizy fraktalnej na jego obrazach. Zdolność Pollocka do wyrażania fraktalnej estetyki natury pomaga wyjaśnić niesłabnącą popularność jego prac.
Wpływ estetyki natury jest zaskakująco silny. W latach osiemdziesiątych architekci odkryli, że pacjenci szybciej wracają do zdrowia po operacji, gdy mają do dyspozycji sale szpitalne z oknami wychodzącymi na przyrodę.
Jeśli chodzi o estetykę, kto lepiej się uczy niż znani artyści? Są w końcu ekspertami wizualnymi. Moja grupa badawcza przyjęła to podejście z Jacksonem Pollockiem, który osiągnął szczyt sztuki nowoczesnej pod koniec lat czterdziestych, wylewając farbę bezpośrednio z puszki na poziome płótna ułożone na podłodze jego pracowni. Chociaż wśród badaczy Pollocka toczyły się bitwy na temat znaczenia jego rozpryskujących się wzorów, wielu zgadzało się, że mają one organiczny, naturalny charakter.
Moja naukowa ciekawość została pobudzona, gdy dowiedziałem się, że wiele obiektów w naturze jest fraktalnych, z wzorami, które powtarzają się przy coraz większych powiększeniach. Pomyśl na przykład o drzewie. Najpierw widać duże gałęzie wyrastające z pnia. Potem widzisz mniejsze wersje wyrastające z każdej dużej gałęzi. W miarę powiększania pojawiają się coraz drobniejsze gałęzie, aż do najmniejszych gałązek. Inne przykłady fraktali natury to chmury, rzeki, wybrzeża i góry.
W 1999 roku moja grupa wykorzystała techniki komputerowej analizy wzorców, aby pokazać, że obrazy Pollocka są tak fraktalne, jak wzory znalezione w naturalnej scenerii. Od tego czasu ponad 10 różnych grup przeprowadziło różne formy analizy fraktalnej na jego obrazach. Zdolność Pollocka do wyrażania fraktalnej estetyki natury pomaga wyjaśnić niesłabnącą popularność jego prac.
Wpływ estetyki natury jest zaskakująco silny. W latach osiemdziesiątych architekci odkryli, że pacjenci szybciej wracają do zdrowia po operacji, gdy mają do dyspozycji sale szpitalne z oknami wychodzącymi na przyrodę.
Inne badania przeprowadzone od tego czasu wykazały, że samo patrzenie na zdjęcia naturalnych scen może zmienić sposób, w jaki autonomiczny układ nerwowy danej osoby reaguje na stres.
Czy fraktale są sekretem kojących naturalnych scen? Ronan, CC BY-NC-ND
Dla mnie rodzi to samo pytanie, które zadałem Pollockowi: czy fraktale są za to odpowiedzialne?
Współpracując z psychologami i neurobiologami, zmierzyliśmy reakcje ludzi na fraktale znalezione w naturze (za pomocą zdjęć naturalnych scen), sztuki (obrazy Pollocka) i matematyki (obrazy generowane komputerowo) i odkryliśmy uniwersalny efekt, który nazwaliśmy "płynnością fraktalną".
Dzięki ekspozycji na fraktalną scenerię natury, ludzkie systemy wzrokowe przystosowały się do wydajnego przetwarzania fraktali z łatwością. Odkryliśmy, że ta adaptacja zachodzi na wielu etapach układu wzrokowego, od sposobu, w jaki poruszają się nasze oczy, po aktywacje obszarów mózgu. Ta płynność umieszcza nas w strefie komfortu, dzięki czemu lubimy patrzeć na fraktale. Co najważniejsze, użyliśmy EEG do zarejestrowania aktywności elektrycznej mózgu i technik przewodnictwa skórnego, aby pokazać, że temu doświadczeniu estetycznemu towarzyszy redukcja stresu o 60 procent – zaskakująco duży efekt jak na leczenie niemedyczne.
Dzięki ekspozycji na fraktalną scenerię natury, ludzkie systemy wzrokowe przystosowały się do wydajnego przetwarzania fraktali z łatwością. Odkryliśmy, że ta adaptacja zachodzi na wielu etapach układu wzrokowego, od sposobu, w jaki poruszają się nasze oczy, po aktywacje obszarów mózgu. Ta płynność umieszcza nas w strefie komfortu, dzięki czemu lubimy patrzeć na fraktale. Co najważniejsze, użyliśmy EEG do zarejestrowania aktywności elektrycznej mózgu i technik przewodnictwa skórnego, aby pokazać, że temu doświadczeniu estetycznemu towarzyszy redukcja stresu o 60 procent – zaskakująco duży efekt jak na leczenie niemedyczne.
Ta fizjologiczna zmiana przyspiesza nawet tempo rekonwalescencji pooperacyjnej.
Artyści wyczuwają atrakcyjność fraktali
Nic więc dziwnego, że jako eksperci wizualni artyści osadzali fraktalne wzory w swoich pracach na przestrzeni wieków i w wielu kulturach. Fraktale można znaleźć na przykład w dziełach rzymskich, egipskich, azteckich, inkaskich i majańskich. Moimi ulubionymi przykładami sztuki fraktalnej z czasów nam bliższych należą Turbulencje da Vinci (1500), Wielka fala Hokusaia (1830), Seria Circle M.C. Eschera (1950) i oczywiście wylane obrazy Pollocka.
Chociaż jest to powszechne w sztuce, fraktalne powtarzanie wzorów stanowi wyzwanie artystyczne. Na przykład, wiele osób próbowało sfałszować fraktale Pollocka i poniosło porażkę. Rzeczywiście, nasza analiza fraktalna pomogła zidentyfikować fałszywe mintaje w głośnych przypadkach. Ostatnie badania przeprowadzone przez innych pokazują, że analiza fraktalna może pomóc odróżnić prawdziwe od fałszywych Pollocków z 93-procentowym wskaźnikiem sukcesu.
Sposób, w jaki artyści tworzą swoje fraktale, podsyca debatę w sztuce "natura kontra wychowanie":
Nic więc dziwnego, że jako eksperci wizualni artyści osadzali fraktalne wzory w swoich pracach na przestrzeni wieków i w wielu kulturach. Fraktale można znaleźć na przykład w dziełach rzymskich, egipskich, azteckich, inkaskich i majańskich. Moimi ulubionymi przykładami sztuki fraktalnej z czasów nam bliższych należą Turbulencje da Vinci (1500), Wielka fala Hokusaia (1830), Seria Circle M.C. Eschera (1950) i oczywiście wylane obrazy Pollocka.
Chociaż jest to powszechne w sztuce, fraktalne powtarzanie wzorów stanowi wyzwanie artystyczne. Na przykład, wiele osób próbowało sfałszować fraktale Pollocka i poniosło porażkę. Rzeczywiście, nasza analiza fraktalna pomogła zidentyfikować fałszywe mintaje w głośnych przypadkach. Ostatnie badania przeprowadzone przez innych pokazują, że analiza fraktalna może pomóc odróżnić prawdziwe od fałszywych Pollocków z 93-procentowym wskaźnikiem sukcesu.
Sposób, w jaki artyści tworzą swoje fraktale, podsyca debatę w sztuce "natura kontra wychowanie":
w jakim stopniu estetyka jest zdeterminowana przez automatyczne nieświadome mechanizmy tkwiące w biologii artysty, a w przeciwieństwie do jego intelektualnych i kulturowych problemów?
W przypadku Pollocka jego fraktalna estetyka wynikała z intrygującej mieszanki obu. Jego fraktalne wzorce wywodzą się z ruchów jego ciała (w szczególności automatycznego procesu związanego z równowagą, znanego jako fraktal). Spędził jednak 10 lat na świadomym doskonaleniu swojej techniki nalewania, aby zwiększyć wizualną złożoność tych fraktalnych wzorów.
Test plam atramentowych Rorschacha, opiera się na tym, co wczytasz w obrazie. Hermann Rorschach
Złożoność fraktalna
Motywacja Pollocka do ciągłego zwiększania złożoności jego fraktalnych wzorów stała się oczywista niedawno, kiedy badałem fraktalne właściwości plam atramentu Rorschacha. Te abstrakcyjne plamy są słynne, ponieważ ludzie widzą w nich wyimaginowane formy (figury i zwierzęta). Wyjaśniłem ten proces w kategoriach efektu płynności fraktalnej, który usprawnia procesy rozpoznawania wzorców u ludzi. Fraktalne plamy atramentowe o niskiej złożoności sprawiły, że proces ten był szczęśliwy, oszukując obserwatorów, aby zobaczyli obrazy, których tam nie ma.
Pollockowi nie podobał się pomysł, że widzowie jego obrazów są rozpraszani przez takie wyimaginowane postacie, które nazywał "dodatkowym ładunkiem". Intuicyjnie zwiększał złożoność swoich dzieł, aby zapobiec temu zjawisku.
Abstrakcyjny kolega Pollocka, Willem De Kooning, również malował fraktale. Kiedy zdiagnozowano u niego demencję, niektórzy badacze sztuki wezwali go do przejścia na emeryturę w związku z obawami, że zmniejszy to komponent pielęgnacyjny jego twórczości. Jednak, choć przewidywali oni degradację jego obrazów, jego późniejsze prace przekazywały spokój, którego brakowało w jego wcześniejszych pracach.
Motywacja Pollocka do ciągłego zwiększania złożoności jego fraktalnych wzorów stała się oczywista niedawno, kiedy badałem fraktalne właściwości plam atramentu Rorschacha. Te abstrakcyjne plamy są słynne, ponieważ ludzie widzą w nich wyimaginowane formy (figury i zwierzęta). Wyjaśniłem ten proces w kategoriach efektu płynności fraktalnej, który usprawnia procesy rozpoznawania wzorców u ludzi. Fraktalne plamy atramentowe o niskiej złożoności sprawiły, że proces ten był szczęśliwy, oszukując obserwatorów, aby zobaczyli obrazy, których tam nie ma.
Pollockowi nie podobał się pomysł, że widzowie jego obrazów są rozpraszani przez takie wyimaginowane postacie, które nazywał "dodatkowym ładunkiem". Intuicyjnie zwiększał złożoność swoich dzieł, aby zapobiec temu zjawisku.
Abstrakcyjny kolega Pollocka, Willem De Kooning, również malował fraktale. Kiedy zdiagnozowano u niego demencję, niektórzy badacze sztuki wezwali go do przejścia na emeryturę w związku z obawami, że zmniejszy to komponent pielęgnacyjny jego twórczości. Jednak, choć przewidywali oni degradację jego obrazów, jego późniejsze prace przekazywały spokój, którego brakowało w jego wcześniejszych pracach.
Ostatnio okazało się, że fraktalna złożoność jego obrazów stale spada, gdy popadał w demencję.
Badanie skupiło się na siedmiu artystach z różnymi schorzeniami neurologicznymi i podkreśliło potencjał wykorzystania dzieł sztuki jako nowego narzędzia do badania tych chorób. Dla mnie najbardziej inspirującym przesłaniem jest to, że walcząc z tymi chorobami, artyści nadal mogą tworzyć piękne dzieła sztuki.
Zrozumienie, w jaki sposób patrzenie na fraktale zmniejsza stres, oznacza, że możliwe jest stworzenie implantów siatkówki, które naśladują ten mechanizm. Zdjęcie Nautilusa za pośrednictwem www.shutterstock.com.
Moje główne badania koncentrują się na opracowywaniu implantów siatkówki w celu przywrócenia wzroku ofiarom chorób siatkówki. Na pierwszy rzut oka cel ten wydaje się daleki od sztuki Pollocka. Jednak to właśnie jego praca dała mi pierwszą wskazówkę na temat płynności fraktali i roli, jaką fraktale natury mogą odgrywać w utrzymywaniu poziomu stresu ludzi w ryzach. Aby upewnić się, że moje implanty inspirowane biologią wywołują taką samą redukcję stresu podczas patrzenia na fraktale natury, jak robią to normalne oczy, ściśle naśladują konstrukcję siatkówki.
Kiedy zaczynałem badania nad Pollockiem, nigdy nie wyobrażałem sobie, że będą one miały wpływ na projekty sztucznych oczu. Na tym jednak polega siła interdyscyplinarnych przedsięwzięć – myślenie "nieszablonowe" prowadzi do nieoczekiwanych, ale potencjalnie rewolucyjnych pomysłów.
------------
Wzory to matematyka, na którą uwielbiamy patrzeć
22 września 2015 11:06
Dlaczego ludzie uwielbiają patrzeć na wzory? Mogę się tylko domyślać, ale napisałem całą książkę o nowych matematycznych sposobach ich wytwarzania. W książce Creating Symmetry, The Artful Mathematics of Wallpaper Patterns (Tworzenie symetrii, artystycznej matematyki wzorów tapet) zamieszczam obszerny zestaw przepisów na przekształcanie fotografii we wzory. Oficjalna definicja "wzorca" jest kłopotliwa; Ale możesz myśleć o wzorze jako o obrazie, który w jakiś sposób się powtarza, być może gdy się obracamy, być może, gdy przeskakujemy o jedną jednostkę.
Oto wzór, który zrobiłem, używając logo The Conversation, wraz z truskawkami i cytryną:
Powtarzanie w nieskończoność na lewo i prawo. Frank A Farris, CC BY-ND
Matematycy nazywają to wzorem fryzu, ponieważ powtarza się on w kółko w lewo i prawo. Twój umysł prowadzi cię do przekonania, że ten wzorzec powtarza się w nieskończoność w dowolnym kierunku; W jakiś sposób wiesz, jak kontynuować wzór poza kadrem. Możesz również zobaczyć, że wzór u dołu obrazu jest taki sam jak wzór u góry, tylko trochę odwrócony i przesunięty.
Kiedy możemy zrobić coś ze wzorcem, który pozostawia go niezmienionym, nazywamy to symetrią wzorca. Tak więc przesuwanie tego wzoru na boki w odpowiednim stopniu – nazwijmy to przesunięciem o jedną jednostkę – jest symetrią mojego wzorca. Ruch odwracania i przesuwania nazywa się odbiciem poślizgu, więc mówimy, że powyższy wzór ma symetrię ślizgu.
Rząd liter A ma wiele symetrii. Frank A Farris, CC BY-ND
Możesz tworzyć wzory fryzu z rzędów liter, o ile możesz sobie wyobrazić, że rząd trwa w nieskończoność w lewo i w prawo. Wskażę ten pomysł poprzez... AAAAA.... Ten rząd liter zdecydowanie ma to, co nazywamy symetrią translacyjną, ponieważ możemy przesuwać się wzdłuż rzędu, po jednej literze A na raz i skończyć z tym samym wzorem.
Jakie ma inne symetrie? Jeśli użyjesz innej czcionki dla swoich A, może to zepsuć symetrię, ale jeśli nogi litery A są takie same, jak powyżej, to ten wiersz ma symetrię odbicia wokół osi pionowej narysowanej przez środek każdego A.
I tu pojawia się ciekawa matematyka: czy zauważyłeś oś odbicia między As?
Jakie ma inne symetrie? Jeśli użyjesz innej czcionki dla swoich A, może to zepsuć symetrię, ale jeśli nogi litery A są takie same, jak powyżej, to ten wiersz ma symetrię odbicia wokół osi pionowej narysowanej przez środek każdego A.
I tu pojawia się ciekawa matematyka: czy zauważyłeś oś odbicia między As?
Okazuje się, że każdy wzór fryzu z jedną pionową osią zwierciadła, a co za tym idzie nieskończonym ich rzędem (przez symetrię translacyjną wspólną dla wszystkich fryzów), musi koniecznie mieć dodatkowy zestaw pionowych osi lustra dokładnie w połowie odległości między pozostałymi. A matematyczne wyjaśnienie nie jest zbyt trudne.
Załóżmy, że wzór pozostaje taki sam, gdy odwrócisz go wokół osi lustra. I załóżmy, że ten sam wzór jest zachowany, jeśli przesuniesz go o jedną jednostkę w prawo. Jeśli wykonanie pierwszego ruchu pozostawia wzór w spokoju, a wykonanie drugiego ruchu również pozostawia wzór w spokoju, to wykonanie najpierw jednego, a następnie drugiego pozostawia wzór w spokoju.
Załóżmy, że wzór pozostaje taki sam, gdy odwrócisz go wokół osi lustra. I załóżmy, że ten sam wzór jest zachowany, jeśli przesuniesz go o jedną jednostkę w prawo. Jeśli wykonanie pierwszego ruchu pozostawia wzór w spokoju, a wykonanie drugiego ruchu również pozostawia wzór w spokoju, to wykonanie najpierw jednego, a następnie drugiego pozostawia wzór w spokoju.
Przewracanie, a następnie przesuwanie jest tym samym, co jedno duże przewrócenie. Frank A Farris, CC BY-ND
Możesz odegrać to ręką: połóż prawą rękę twarzą w dół na stole z osią lustra przez środkowy palec. Najpierw odwróć rękę (symetria lustra), a następnie przesuń ją o jedną jednostkę w prawo (tłumaczenie). Zauważ, że jest to dokładnie taki sam ruch, jak odwrócenie ręki o pół jednostki od pierwszej.
To o tym świadczy! Nikt nie jest w stanie stworzyć wzoru z symetrią translacyjną i lustrami bez stworzenia tych pośrednich symetrii lustrzanych. Na tym polega istota matematycznego pojęcia grupy: jeśli wzór ma pewne symetrie, to musi mieć wszystkie inne, które powstają w wyniku ich połączenia.
Zaskakujące jest to, że istnieje tylko kilka różnych rodzajów symetrii fryzu. Kiedy mówię o typach, mam na myśli to, że rząd A ma ten sam typ co rząd V. (Szukaj tych pośrednich osi lustra!) Matematycy twierdzą, że dwie grupy symetrii są izomorficzne, co oznacza, że mają tę samą postać.
Okazuje się, że istnieje dokładnie siedem różnych grup fryzów. Zaskoczony? Prawdopodobnie możesz dowiedzieć się, czym one są, z pewną pomocą. Pozwólcie, że wyjaśnię, jak je nazwać, zgodnie z Międzynarodową Unią Krystalografów.
Symbol nazewnictwa używa szablonu prvh, gdzie p jest tylko symbolem zastępczym, r oznacza symetrię obrotową (pomyśl o rzędzie N), v oznacza cechy pionowe, a h oznacza poziomy. Nazwa wzoru A to p1m1: brak obrotu, lustro pionowe, brak elementu poziomego poza translacją. Używają 1 jako symbolu zastępczego, gdy ten konkretny rodzaj symetrii nie występuje we wzorcu.
Co mam na myśli mówiąc o rzeczach horyzontalnych? Mój fryz wprowadzający to p11g, ponieważ jest symetria ślizgu w kierunkach poziomych i brak symetrii w innych szczelinach.
Kolejny wzór fryzu, tym razem oparty na zdjęciu persymony. Frank A Farris, CC BY-ND
Zapisz kilka rzędów liter i zobacz, jakie rodzaje symetrii możesz nazwać. Wskazówka: powyższy wzór persymony (lub ten rząd N) zostałby nazwany p211. Nie może być p1g1, ponieważ upieramy się, że nasz fryz ma symetrię translacyjną w kierunku poziomym. Nie może być p1mg, ponieważ jeśli masz m w kierunku pionowym i g w poziomie, jesteś zmuszony (nie przeze mnie, ale przez naturę rzeczywistości) do symetrii rotacyjnej, co ląduje w p2mg.
Wzór p2mg oparty na tych samych surowcach, co nasz pierwszy wzór fryzu. CC BY-ND
Trudno jest zrobić wzory p2mg z literami, więc oto jeden wykonany z tej samej cytryny i truskawek. Pominąłem logo, ponieważ słowa stały się zbyt zniekształcone. Szukaj poziomych ślizgów, pionowych luster i środków o podwójnej symetrii obrotowej. (Oto zabawna cecha: uśmiechnięte truskawkowe twarze stają się smutne, gdy widzisz je do góry nogami.)
W mojej książce skupiam się bardziej na wzorach tapet, czyli takich, które powtarzają się w nieskończoność wzdłuż dwóch różnych osi. Wyjaśniam, jak używać wzorów matematycznych zwanych złożonymi formami falowymi do konstruowania wzorów tapet. Udowadniam, że każda grupa tapet jest izomorficzna – pojęcie matematyczne oznaczające tę samą formę – do jednej z zaledwie 17 grup prototypowych. Ponieważ typy wzorców ograniczają możliwe struktury kryształów, a nawet atomów, wszystkie wyniki tego typu mówią coś głęboko o naturze rzeczywistości.
Starożytna rzymska mozaika podłogowa w Carranque, Hiszpania. a_marga, CC BY-SA
Bez względu na adaptacyjne powody naszej ludzkiej miłości do wzorów, tworzymy je od dawna. Każda tradycja dekoracyjna obejmuje ten sam ograniczony zestaw typów wzorów, chociaż czasami istnieją kulturowe powody dla łamania symetrii lub pomijania niektórych typów. Czy nasze wizualne zamiłowanie do rozpoznawania, że "Tak, to jest to samo, co tamto!" miało pierwotnie użyteczny korzeń, być może ewoluując z przewagi w odróżnianiu roślin jadalnych od trujących, na przykład? A może po prostu lubimy patrzeć na wzory? Bez względu na to, co się dzieje, tysiące lat później nadal czerpiemy przyjemność z tych powtarzalnych wzorów.
theconversation.com/fractal-patterns-in-nature-and-art-are-aesthetically-pleasing-and-stress-reducing-73255
theconversation.com/patterns-are-math-we-love-to-look-at-44390
